La structure fractale

La structure fractale

Je te salue ami

La science, dans sa recherche de la connaissance, a trouvé la structure fractale si universelle qu’elle lui a trouvé toutes sortes d’applications dans de nombreux domaines (voir plus bas). Mais une fractale, c’est quoi au juste?

Le mot a été créé en 1974 par Benoît Mandelbrot (un mathématicien franco-américain d’origine polonaise) à partir du latin fractus: brisé, rugueux, irrégulier. Il n’est pas facile de définir une fractale si on n’est pas mathématicien (Mandelbrot lui-même a varié).

Ce terme désigne les structures gigognes particulières qu’il a découvert (un objet gigogne est un objet qui s’emboîte dans un autre), une fractale étant un objet gigogne dans un objet gigogne dans un objet gigogne, etc. à l’infini. Autrement dit, “un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal” (pour explication voir la vidéo).

Par la simple répétition/itération à différentes échelles d’une figure géométrique (ici un triangle), on obtient, au fur et à mesure des itérations, un objet de plus en plus complexe. Une des propriétés de toute structure fractale est l’autosimilarité, c.a.d. que les détail sont rigoureusement identiques quelle que soit l’échelle (ce qui fait qu’il est impossible de dire si on regarde l’image avec un zoom de 100%, 200%, 300%, etc.): on peut zoomer à l’infini, on observera toujours plus de détail. Voici un exemple classique de fractale appelé “flocon de von Koch”.

Avant la découverte des fractales, on ne connaissait que la géométrie “classique” (les formes lisses: cube, sphère, triangle, etc.) Or nulle part dans la nature nous ne voyons de “formes lisses” (qui sont considérées comme artificielles, c.a.d. faites par l’Homme). Mandelbrot a donc découvert les formes “rugueuses” ou irrégulières (par opposition aux “formes lisses”). Comparé aux mathématiques “classiques” (qui sont ordonnées), les fractales sont souvent considérées comme CHAOTIQUES. À tort.

Ici je veux dissiper un malentendu (quitte à anticiper un peu). Les termes LOGOS et KHAOS  du grec ancien ne signifient ORDRE et CHAOS que relativement à l’Homme. Il ne faut donc pas être surpris si ce qui PARAÎT chaotique à l’Homme est ORDONNÉ pour la Nature, puisque la Nature ne fonctionne pas comme l’Homme le croit (c’est seulement qu’il ne comprend pas la Nature: pour lui, ce qu’elle fait est chaotique). Le génie de Mandelbrot est d’avoir découvert la façon (éminemment simple) dont la Nature opère pour créer des formes d’une complexité inouïe. L’objet fractal se caractérise donc par une sorte d’autosimilarité qui fait que chaque élément se répète à l’identique à toutes les échelles.

Rien ne vaut un exemple pour illustrer ce que l’on veut dire: une simple fougère. N’importe quelle de ses branches ressemble exactement à la plante dans son ensemble, chaque feuille est une reproduction à l’identique de la branche, et chaque partie de feuille est structuré de la même façon que la feuille entière (et si on pouvait voir des détails infimes, on s’apercevrait que c’est pareil à l’infini). Voilà: nous sommes entourés d’une beauté époustouflante, mais nous ne la voyons pas, nous croyons même que c’est du chaos. L’Homme est si plein de lui-même qu’il n’appelle BEAUTÉ que ce que lui considère comme beau.

Partout où se porte le regard, nous voyons des objets fractals, depuis la forme d’une fougère ou de flocons de neige jusqu’aux arbres, aux rivières et aux montagnes, en passant par la structure de l’éclair et des nuages. En fait, elles sont partout dans la Nature. Et puisque la science étudie la Nature, elle a appliqué sa découverte des fractales dans de nombreux domaines, dont voici les principaux selon Wikipédia:

• en biologie, répartition des structures des plantes, bactéries, feuilles, branches d'arbres…
• en géologie, étude du relief, côtes et cours d'eau, structures de roches, avalanches…
• en paléontologie, loi de puissance des apparitions et extinctions d'espèces
• en morphologie animale, structures des invertébrés, plumes d'oiseaux…
• en médecine, structure des poumons, intestins, battements du cœur
• en météorologie, nuages, vortex, banquise, vagues scélérates, turbulences, structure de la foudre
• en volcanologie, prévision d'éruptions volcaniques, tremblements de terre
• en astronomie avec la description des structures de l'univers, cratères sur la Lune, répartition des exoplanètes et des galaxies…
• en sciences humaines, structure urbaine, évolution de la démographie
• en économie et finance, prévision des krachs boursiers (théorie des fractales)
• en électronique, antennes larges bandes des téléphones portables

• dans les arts; art graphiques bien sur, mais aussi en littérature, en musique, au cinéma… Dans La Dramaturgie, par exemple, Yves Lavandier démontre que la théorie fractale s’applique à merveille aux mécanismes du récit. La forme simple protagoniste-objectif-obstacles se retrouve à différentes échelles : la série, l’œuvre unitaire, l’acte logistique, l’acte dramatique, la séquence, la scène, jusqu’à certains dialogues. C’est la spécificité de chaque composant et la combinaison de milliers de formes simples qui donnent à chaque récit son caractère unique et son apparente originalité.

Outre de multiples applications scientifiques, les fractales sont aussi utilisées en art abstrait, où elles nous offre des tableaux d’une saisissante beauté. Personnellement, j’adore “faire des paysages” à l’ordinateur, et je suis toujours émerveillé de voir avec quelle facilité je reproduis montagnes, plans d’eau et arbres (souvent quelques clics suffisent et l’ordinateur fait les calculs nécessaires): rien de cela n’aurait été possible sans la découverte des fractales.

Mais le plus intéressant à mes yeux, c’est que la connaissance des fractales conduit à une certaine idée d’infini (jusque là étrangère à la science et réservée à la spiritualité) puisqu’une surface de dimension finie est limitée par une frontière de longueur infinie. Science et spiritualité (TRÈS différente de la religion) se rapprochent peu à peu, et un jour

Ce sera plus beau que nos plus beaux contes de fée.